कैसे तुरंत निकालें किसी भी संख्या का स्क्वेयर

एक बस की नंबर प्लेट में खास बात थी। बस नंबर एक (कम्प्लीट स्क्वेयर) पूर्ण वर्ग था। उस प्लेट को पूरा उल्टा करने पर दिखने वाली संख्या भी यह एक पूर्ण वर्ग थी। बस कंपनी के पास 1 से 500 तक की संख्या वाली केवल पांच सौ बसें थीं। संख्या क्या थी?

(a) 169 (b) 36 (c) 196 (d) कह नहीं सकते

स्क्वेयर्स (वर्ग) की मजेदार दास्तां

मैथ्स के प्रश्न सॉल्व करते वक्त ‘स्क्वेयर्स’ अर्थात ‘वर्ग’ याद करना बहुत फायदेमंद होता है। इससे ना केवल कैलकुलेशन करने का समय बचता है, कई प्रश्न भी इसी तरह डिज़ाइन किए जाते हैं कि वे आप के स्केवयर्स के ज्ञान को चेक करते हैं।

उदाहरण – कॉमन एडमिशन टेस्ट में पूछे और ऊपर दर्शाए प्रश्न को ही ले लीजिए। यदि आपको 31 का स्क्वेयर 961 याद है तो आप तुरंत इसका उत्तर (c) मार्क कर देंगे जो कि सही उत्तर भी है।

आप सभी संख्याओं के स्क्वेयर्स याद रख सकते हैं। या प्रीसाइसली कहा जाए तो दिमाग में तुरंत बना सकते हैं।

दो हिस्सों में देखेंगे

समझने में आसान बनाने के लिए हमने आर्टिकल को दो भागों में तोड़ दिया है।

पहले, आज हम देखेंगे 100 के आस-पास अर्थात 99, 98, 101, 102 इत्यादि के स्क्वेयर्स को और इसके बाद इसी सीरीज के अगले आर्टिकल में बाकी संख्याओं के स्क्वेयर्स के बारे में बात करेंगे।

तो आइए देखते हैं सभी स्केवयर्स को याद करने का मेथड!

1) किसी भी संख्या के स्क्वेयर के अंतिम दो अंक निकालना

यह एकदम आसान कार्य है।

वास्तव में किसी भी संख्या के कम्प्लीट स्क्वेयर में निम्न संख्याए एक निश्चित आर्डर में रिपीट होती हैं।

0 से 25 के लिए ये क्रमशः 00, 01, 04, 09, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 00, 21, 44, 69, 96, 25, 56, 89, 24, 61, 00, 41, 84, 29, 76 तथा 25 होते हैं।

ये क्रमशः 0 से 25 के स्क्वेयर के अंतिम दो अंक हैं।

इसके आगे भी यही नंबर रिपीट होंगे लेकिन उल्टे ऑर्डर में अर्थात 26 से 49 के स्क्वेयर के अंतिम दो अंक क्रमशः 76, 29, 84, 41, 00, 61, 24, 89, 56, 25, 96, 69, 44, 21, 00, 81, 64, 49, 36, 25, 16, 09, 04 और 01 होंगे (अर्थात 25 को छोड़कर ऊपर दिए गए ऑर्डर के उल्टे ऑर्डर में)।

50 से 75 के स्क्वेयर्स में फिर से ओरिजिनल ऑर्डर आएगा – 00, 01, 04, 09, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 00, 21, 44, 69, 96, 25, 56, 89, 24, 61, 00, 41, 84, 29, 76 तथा 25 होते हैं।

इसके आगे 76 से 99 के स्क्वेयर के अंतिम दो अंक क्रमशः 76, 29, 84, 41, 00, 61, 24, 89, 56, 25, 96, 69, 44, 21, 00, 81, 64, 49, 36, 25, 16, 09, 04 और 01 होंगे (अर्थात 25 को छोड़कर ऊपर दिए गए ऑर्डर के उल्टे ऑर्डर में)।

और इसी प्रकार हमेशा चलता रहता है।

इसका अर्थ यह है कि 113 हो 913 हो या 837 या 987 उसके अंत के दो डिजिट वही होंगे जो 13 के स्क्वेयर में है (अर्थात 69)। (837 = 850 – 13, and 987 = 1000 – 13)

इसके लिए आप निम्न विधि फॉलो करें –

0, 50, 100, 150, 200 इस प्रकार पचास-पचास के अंतराल पर अपने ‘बेस स्टेशन’ बनाएं। अब आप को जिस भी संख्या के स्क्वेयर के आखिरी दो अंक निकालने हैं उसके सबसे पास के स्टेशन से उस संख्या का डिफरेंस (अंतर) देखे। इस डिफरेंस वाली संख्या के स्क्वेयर के अंतिम दो अंक ही आपका उत्तर है।

यहां ध्यान रखने की बात यह है कि सीधे हाथ की तरफ लिखे जाने वाले अंकों (अर्थात अंतर के स्क्वेयर) के केवल दो अंक ही उत्तर में लिखना है। यदि ‘स्क्वेयर दो अंकों से बड़ा है’ तो बाकि अंकों को उल्टे हाथ की तरफ लिखे जाने वाली संख्या में हासिल (कैरी) की तरह जोड़ दीजिए।

उदाहरण के लिए, 88^2 में 100 – 88 = 12 तथा 88 – 12 = 76 एवं 12^ 2 = 144, तो उत्तर इस तरह लिखा जाए 76 (+1 हासिल) = 7744.

आधा काम हो गया आइए अब स्क्वेयर के अगले भाग को निकाल कर उसे पूरा निकालना सीखें।

2) संख्या के स्क्वेयर के बचे अंक निकालना

A. बेस स्टेशन 100 के ऊपर की संख्याएं

उदाहरण के लिए 101^2 के आखिरी दो अंक 100 ~ 101 = 01 (~ अंतर निकालने का चिन्ह है) तथा 01^ 2 = 01 के कारण 01 होंगे। अब आगे के अंकों को निकालने के लिए, बेस स्टेशन से संख्या के अंतर (अर्थात 101 ~ 100 = 01) को संख्या में जोड़ देना है।

101 (संख्या) + 01 (बेस से अंतर) = 102, तो उत्तर का अगला भाग है 102 और पूर्ण उत्तर है 101^ 2 = 10201

इसी प्रकार 102^2 = 102 ~ 100 = 02 तथा 102 + 02 = 104 एवं 02^2 = 04 इसलिए उत्तर = 10204, आगे करते जाइए

इसी प्रकार 103^2 = 103 ~ 100 = 03 तथा 103 + 03 = 106 एवं 03^2 = 09 इसलिए उत्तर = 10609

104^2 = 104 ~ 100 = 04 तथा 104 + 04 = 108 एवं 04^2 = 16 इसलिए उत्तर = 10816

105^2 = 105 ~ 100 = 05 तथा 105 + 05 = 110 एवं 05^2 = 25 इसलिए उत्तर = 11025 इत्यादि

यहां ध्यान रखने की बात यह है कि सीधे हाथ की तरफ लिखे जाने वाले अंकों (अर्थात अंतर के स्क्वेयर) के केवल दो अंक ही उत्तर में लिखना है यदि ‘स्क्वेयर दो अंकों से बड़ा है’ तो बाकि अंकों को उलटे हाथ की तरफ लिखे जाने वाली संख्या में हासिल (कैरी) की तरह जोड़ दीजिये।

उदाहरण के लिए, 113^2 में 113 – 100 = 13 तथा 113 + 13 = 126 एवं 13^ 2 = 169, तो उत्तर इस तरह लिखा जाए 126 (+1 हासिल) = 12769.

B. बेस स्टेशन 100 से नीचे की संख्याएं

उदाहरण के लिए 99^2 के आखिरी दो अंक 100 ~ 99 = 01 तथा 01^ 2 = 01 के कारण 01 होंगे। अब अगले अंकों को निकालने के लिए, बेस स्टेशन से संख्या के अंतर (अर्थात 100 ~ 99 = 01) को संख्या में से घटा देना है।

99 (संख्या) – 01 (बेस से अंतर) = 98, तो उत्तर का अगला भाग है 98 और पूर्ण उत्तर है 99^ 2 = 9801

इसी प्रकार 98^2 = 100 ~ 98 = 02 तथा 98 – 02 = 96 एवं 02^2 = 04 इसलिए उत्तर = 9604, आगे करते जाइए

इसी प्रकार 97^2 = 100 ~ 97 = 03 तथा 97 – 03 = 94 एवं 03^2 = 09 इसलिए उत्तर = 9409

96^2 = 100 ~ 96 = 04 तथा 96 – 04 = 92 एवं 04^2 = 16 इसलिए उत्तर = 9216

95^2 = 100 ~ 95 = 05 तथा 95 – 05 = 90 एवं 05^2 = 25 इसलिए उत्तर = 9025 इत्यादि

यहां ध्यान रखने की बात यह है कि सीधे हाथ की तरफ लिखे जाने वाले अंकों (अर्थात अंतर के स्क्वेयर) के केवल दो अंक ही उत्तर में लिखना है यदि ‘स्क्वेयर दो अंकों से बड़ा है’ तो बाकि अंकों को उलटे हाथ की तरफ लिखे जाने वाली संख्या में हासिल (कैरी) की तरह जोड़ दीजिए।

उदाहरण के लिए, 88^2 में 100 – 88 = 12 तथा 88 – 12 = 76 एवं 12^ 2 = 144, तो उत्तर इस तरह लिखा जाए 76 (+1 हासिल) = 7744.

उम्मीद करता हूं, मेथड आपको समझ में आया होगा।

अगली बार हम इसी मेथड से बाकी संख्याओं के स्क्वेयर्स निकलने की प्रक्रिया पर चर्चा करेंगे।